Question

已知函数f（x）=ax+bsinx，当时，f（x）取得极小值．
（1）求a，b的值；
（2）设直线l：y=g（x），曲线S：y=F（x）．若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：
①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；
②对任意x∈R都有g（x）≥F（x）．则称直线l为曲线S的“上夹线”．
试证明：直线l：y=x+2是曲线S：y=ax+bsinx的“上夹线”．
（3）记，设x₁是方程h（x）-x=0的实数根，若对于h（x）定义域中任意的x₂、x₃，当|x₂-x₁|＜1，且|x₃-x₁|＜1时，问是否存在一个最小的正整数M，使得|h（x₃）-h（x₂）|≤M恒成立，若存在请求出M的值；若不存在请说明理由．

Answer

（1）根据题意，求出函数的导数再代入可得方程组，求解即可；
（2）设直线l：g（x）=x+2，曲线S：f（x）=ax+bsinx，求出f（x）的导数，因为直线斜率为1，由f'（x）=1-2cosx=1可得极值点，再验证得到直线与曲线f（x）的切点，利用g（x）≥F（x）也可作差得到结论．
（3）本问可求出h（x）的最大值和最小值然后转化为|h（x3）-h（x2）|max=|h（x）max-h（x）min|小于某个正整数M即可；本问题也可以利用函数的单调性来求解，只需做一个转化h（x）与x的关系，为此可构造函数h（x）-x，于是可以证得结论．
（1）由已知f'（x）=a+bcosx，于是得：代入可得：a=1，b=-2…（3分）
（2）由f'（x）=1-2cosx=1，得cosx=0，当时，cosx=0此时，，y1=y2所以是直线l与曲线S的一个切点，当时，cosx=0，，，y1=y2
所以是直线l与曲线S的一个切点  所以直线l与曲线S相切且至少有两个切点…（6分）
对任意x∈R，g（x）-F（x）=（x+2）-（x-2sinx）=2+2sinx≥0
所以g（x）≥F（x），因此直线l：y=x+2是曲线S：y=ax+bsinx的“上夹线”…（9分）
（3）方法一：，x1为的根，即x1=0，也即|x3|＜1，|x2|＜1…（10分）
而∴，
∴…（13分）
所以存在这样最小正整数M=2使得|h（x3）-h（x2）|≤M恒成立．…（14分）
方法二：不妨设x2＜x3，因为h'（x）＞0，所以h（x）为增函数，所以h（x2）＜h（x3）
又因为h'（x）-1＜0，所以h（x）-x为减函数，所以h（x2）-x2＞h（x3）-x3所以0＜h（x3）-h（x2）＜x3-x2，…（11分）
即|h（x3）-h（x2）|＜|x3-x2|=|x3-x1-（x2-x1）|≤|x3-x1|+|x2-x1|＜2…（13分）
故存在最小正整数M=2，使得|h（x3）-h（x2）|≤M恒成立…（14分）