Question

设函数y=f（x），我们把满足方程f（x）=0的值x叫做函数y=f（x）的零点．现给出函数f（x）=x³-3x²+ax+a²-10，若它是R上的单调函数，且1是它的零点．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）设Q₁（x₁，0），若过P₁（x₁，f（x₁））作函数y=f（x）的图象的切线与x轴交于点Q₂（x₂，0），再过P₂（x₂，f（x₂））作函数y=f（x）的图象的切线与x轴交于点Q₃（x₃，0），…，依此下去，过P_n（x_n，f（x_n））（n∈N^*）作函数y=f（x）的图象的切线与x轴交于点Q_n+1（x_n+1，0），…．
若x₁=2，x_n＞1，求x_n．

Answer

（Ⅰ）由1是函数y=f（x）的零点，得：f（1）=a2+a-12=0，由此能求出实数a的值．
（Ⅱ）由f（x）=（x-1）3，知f（xn）=（xn-1）3，其导数为f′（x）=3（x-1）2，过Pn（xn，f（xn））（n∈N+）作函数y=f（x）图象的切线方程为：y-（xn-1）3=3（xn-1）2（x-xn），由此能求出xn．
【解析】
（Ⅰ）由1是函数y=f（x）的零点，得：f（1）=a2+a-12=0，
解得：a=3，或a=-4，…（2分）
若a=3，则f（x）=x3-3x2+3x-1，f′（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2≥0恒成立，满足条件；
若a=-4，则f（x）=x3-3x2-4x+6，
f′（x）=3x2-6x-4在R上有正，有负，
不满足“是R上的增函数”条件，所以舍去．
所以，a=3．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=（x-1）3，则f（xn）=（xn-1）3，
其导数为f′（x）=3（x-1）2，
过Pn（xn，f（xn））（n∈N+）作函数y=f（x）图象的切线方程
为：y-（xn-1）3=3（xn-1）2（x-xn），…（8分）
令y=0得：-（xn-1）3=3（xn-1）2（xn+1-xn），
∵xn＞1，
∴，，
∴数列{xn-1}是以1为首项，为公比的等比数列   …（12分）
xn-1=，则．…（14分）