Question

定义函数y=f（x）：对于任意整数m，当实数x时，有f（x）=m．
（Ⅰ）设函数的定义域为D，画出函数f（x）在x∈D∩[0，4]上的图象；
（Ⅱ）若数列（n∈N^*），记S_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），求S_n；
（Ⅲ）若等比数列b_n的首项是b₁=1，公比为q（q＞0），又f（b₁）+f（b₂）+f（b₃）=4，求公比q的取值范围．

Answer

（Ⅰ）根据函数y=f（x）的定义，求出函数在区间[0，4]上的解析式，即可画出函数的图象；
（Ⅱ）根据，可知2＜an＜6，求出f（an），在求和即可；
（Ⅲ）由f（b1）+f（b2）+f（b3）=4，且b1=1，得f（q）+f（q2）=3，分类讨论即可求得结果．
【解析】
（I）当x∈[0，）时，f（x）=0，
当x∈[，）时，f（x）=1，
当x∈[，）时，f（x）=2，
当x∈[，）时，f（x）=3，
当x∈[，4]时，f（x）=4，
∴图象如图所示，
（II）由于，所以，
因此；
（III）由f（b1）+f（b2）+f（b3）=4，且b1=1，得f（q）+f（q2）=3，
当0＜q≤1时，则q2≤q≤1，
所以f（q2）≤f（q）≤f（1）=1，
则f（q）+f（q2）≤2＜3，不合题意；
当q＞1时，则q2＞q＞1，
所以f（q2）≥f（q）≥f（1）=1．
又f（q）+f（q2）=3，
∴只可能是，即，
解之得．