Question

 如图在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AA₁=2，BC=1，点E、F、G分别是AA₁、AB、DD₁的中点．
（I）求证：FG∥平面BCD₁；
（II）求二面角A-CE-D的正弦值．

Answer

（I）过G作GM∥CD交CC1于M，交D1C于O，连接BO，可得O为D1C的中点，所以GO，可得GF∥BO，再根据线面平行的判定定理证明线面平行．
（II）过A作AH⊥DE于H，过H作HN⊥EC于N，连接AN，由题意可得AH⊥并且AN⊥EC，可得∠ANH为二面角A-CE-D的平面角，再利用解三角形的有关知识求出答案即可．
【解析】
（I）过G作GM∥CD交CC1于M，交D1C于O，连接BO．
∵G为DD1的中点，∴O为D1C的中点
从而GO
故四边形GFBO为平行四边形…（3分）
∴GF∥BO
又GF⊄平面BCD1，BO⊂平面BCD1
∴GF∥平面BCD1． …（5分）
（II）过A作AH⊥DE于H，过H作HN⊥EC于N，连接AN．
∵DC⊥平面ADD1A1，
∴CD⊥AH．
又∵AH⊥DE，
∴AH⊥平面ECD．
∴AH⊥EC． …（7分）
又HN⊥EC
∴EC⊥平面AHN．
故AN⊥CE，
∴∠ANH为二面角A-CE-D的平面角 …（9分）
在Rt△EAD中，∵AD=AE=1，∴AH=
在Rt△EAC中，∵EA=1，AC=，∴
∴…（12分）