Question

已知△ABC中，．设∠CBA=θ，BC=a，它的内接正方形DEFG的一边EF在斜边AB上，D、G分别在AC、BC上．假设△ABC的面积为S，正方形DEFG的面积为T．用a，θ表示△ABC的面积S和正方形DEFG的面积T；
设，试求f（θ）的最大值P，并判断此时△ABC的形状．

Answer

（1）首先在△ABC中利用边角关系得出：AC=a•tgθ．进一步得到用a，θ表示△ABC的面积S和正方形DEFG的面积即可；
（2）由（1）可得：令．利用基本不等式求得最大值即可，最后判断此时△ABC的形状．
【解析】
（1）∵在△ABC中，∴∠CBA=θ，BC=a．∴AC=a•tgθ．
∴．…（2分）       设正方形DEFG边长为m，
则 ，∴．            …（4分）
∴，
∴．   …（6分）
（2）由（1）可得：
…（9分）
令．
∵当，
∴当sin2θ=1时，u取得最小值，即f（θ）取得最大值．∴的最大值为．
此时．∴△ABC为等腰直角三角形．             …（12分）