Question

正四面体A-BCD的棱长为1，（Ⅰ）如图（1）M为CD中点，求异面直线AM与BC所成的角；（Ⅱ）将正四面体沿AB、BD、DC、BC剪开，作为正四棱锥的侧面如图（2），求二面角M-AB-E的大小；（Ⅲ）若将图（1）与图（2）面ACD重合，问该几何体是几面体（不需要证明），并求这几何体的体积．

Answer

（Ⅰ）求异面直线AM与BC所成的角，得先作出其平面角来，由图取BD中点N．连AN、MN，可证得∠AMN就是异面直线AM与BC所成的角，在三角形中求解；
（Ⅱ）先作二面角M-AB-E的平面角，取BE中点P．连AP、PM，作MQ⊥AP于Q．过Q作QH⊥AB于H．连MH可证得∠MHQ为二面角M-AB-E的平面角，在所组成的三角形中求角；
（Ⅲ）根据题设中的要求，及图形得出是五面体，再由体积公式求得出体积即可．
【解析】
（Ⅰ）取BD中点N．连AN、MN．
∵MN∥BC
∴∠AMN就是异面直线AM与BC所成的角，在△AMN中，
，
∴（4分）
（Ⅱ）取BE中点P．连AP、PM，作MQ⊥AP于Q．过Q作QH⊥AB于H．连MH．
∵EB⊥AP，EB⊥PM
∴EB⊥面APM即EB⊥MQ，
∴MQ⊥面AEB
∴HQ为MH在面AEB上的射影．，即MH⊥AB
∴∠MHQ为二面角M-AB-E的平面角，
在△AMP中，
在△ABP中，
∴∴二面角M-AB-E的大小，为（8分）
（Ⅲ）若将图（1）与图（2）面ACD重合，该几何体是7面体  （9分）
体积=3VA-BCD=3×××=（12分）