Question

偶函数f（x）在（-∞，+∞）内可导，且f'（1）=-2，f（x+2）=f（x-2），则曲线y=f（x）在点（-5，f（-5））处切线的斜率为（ ）
A．2
B．-2
C．1
D．-1

Answer

由f（x）可导，对f（x+2）=f（x-2）两边求导，得到一个关系式，记作①，又根据f（x）为偶函数，得到一个式子，对此式两边求导，得到另一个关系式，记作②，把x换为x+2代入①，令x=-1即可求出f′（-5）的值即为所求切线的斜率．
【解析】
由f（x）在（-∞，+∞）内可导，对f（x+2）=f（x-2）两边求导得：
f′（x+2）（x+2）′=f′（x-2）（x-2）′，即f′（x+2）=f′（x-2）①，
由f（x）为偶函数，得到f（-x）=f（x），
故f′（-x）（-x）′=f′（x），即f′（-x）=-f′（x）②，
则f′（x+2+2）=f′（x+2-2），即f′（x+4）=f′（x），
所以f′（-5）=f′（-1）=-f′（1）=2，即所求切线的斜率为2．
故选A