(1)对函数f(x)进行求导然后整理成f′(x)=e-x(-ax2+2ax-a-1)的形式,因为e-x>0,根据导函数大于0原函数单调递增,导函数小于0原函数单调递减通过讨论函数g(x)=-ax2+2ax-a-1值的情况来确定原函数的单调性.
(2)先根据a的范围确定导函数等于0的两根的范围,进而可判断函数在区间[1,2]上的单调性,最后可得到最小值.
【解析】
(1)由已知f′(x)=-e-x(ax2+a+1)+e-x•2ax
=e-x(-ax2+2ax-a-1).
因为e-x>0,以下讨论函数g(x)=-ax2+2ax-a-1值的情况:
当a=0时,g(x)=-1<0,即f′(x)<0,所以f(x)在R上是减函数.
当a>0时,g(x)=0的判别式△=4a2-4(a2+a)=-4a<0,所以g(x)<0,
即f′(x)<0,所以f(x)在R上是减函数.
当a<0时,g(x)=0有两个根x1,2=,并且<,
所以在区间(-∞,)上,g(x)>0,即f'(x)>0,f(x)在此区间上是增函数;
在区间(,)上,g(x)<0,即f′(x)<0,f(x)在此区间上是减函数.
在区间(,+∞)上,g(x)>0,即f′(x)>0,f(x)在此区间上是增函数.
综上,当a≥0时,f(x)在R上是减函数;
当a<0时,f(x)在(-∞,)上单调递增,在(,)上单调递减,
在(,+∞)上单调递增.
(2)当-1<a<0时,=1+<1,=1+>2,
所以在区间[1,2]上,函数f(x)单调递减.
所以函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为f(2)=.