Question

已知A，B是抛物线x²=2py（p＞0）上的两点，F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线．
（1）若过A点的抛物线的切线与y轴相交于C点，求证：|AF|=|CF|；
（2）若（A、B异于原点），直线OB与过A且垂直于X轴的直线m相交于P点，求P点轨迹方程；
（3）若直线AB过抛物线的焦点，分别过A、B点的抛物线的切线相交于点T，求证：，并且点T在l上．

Answer

（ 1）由题，可设A（x1，y1），求导得，由点斜式可得过A点的抛物线的切线为，再令x=0解出它与Y轴交点的坐标，由抛物线的性质解出|AF|与|CF|的长度，比较即可证明出结论；
（2）可先设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）．代入结合抛物线x2=2py（p＞0）得出x1x2=-2p2．再表示出直线OB的方程：，直线m的方程：，两者联立，解出P点的轨迹方程；
（3）可设T（x，y）．由题意，求导可得出．由于AB是焦点弦，可设AB的方程为，代入x2=2py（p＞0）得：x2-2pkx-p2=0，由根与系数的关系得x1x2=-p2，于是kAT•kBT=-1，故AT⊥BT．由此得，再由点T在直线AT，BT上，由同一性即可得点T在l上
证明：（ 1）设A（x1，y1），因，则过A点的抛物线的切线为，
令x=0，得，所以，
由定义知|AF|等于点A的抛物线的准线的距离，即．所以|AF|=|CF|．    …（4分）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）．
因为 ，所以x1x2+y1y2+p2=0，，，即x1x2=-2p2．
直线OB的方程：，直线m的方程：，
（1）×（2）得  ，又x≠0，∴y=-p．即P点轨迹方程为y=-p．…（8分）
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），T（x，y）．则．
由于AB是焦点弦，可设AB的方程为，代入x2=2py（p＞0）得：x2-2pkx-p2=0，
∴x1x2=-p2，于是kAT•kBT=-1，故AT⊥BT．
由（1）知，AT的方程：，∴，即xx1-py1=py，同理：xx2-py2=py．
∴AB的方程为xx-py=py，又∵AB过焦点，∴，即，故T点在准线l上．…（12分）