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设数列{an},{bn}的各项均为正数,若对任意的正整数n,都有an,bn2,a...

设数列{an},{bn}的各项均为正数,若对任意的正整数n,都有an,bn2,an+1成等差数列,且bn2,an+1,bn+12成等比数列.
(Ⅰ)求证数列{bn}是等差数列;
(Ⅱ)如果a1=1,b1=manfen5.com 满分网,比较2n与2an的大小.
(Ⅰ)利用已知条件可得数列{bn}与{an}的递推关系,代入2bn2=an+an+1整理,然后利用等差中项的证明数列{bn}为等差数列 (Ⅱ)结合(1)求出数列{bn}的公差d,进一步求得bn,然后利用递推公式an=bn-1.bn求出an,通过n的特殊值猜想2n与2an之间的大小关系,利用数学归纳法进行证明 【解析】 (Ⅰ)由题意,得2bn2=an+an+1,① an+12=bn2bn+12,②(1分) 因为an>0,bn>0,所以由式②得an+1=bnbn+1, 从而当n≥2时,an=bn-1bn, 代入式①得2bn2=bn-1bn+bnbn+1,(3分) 故当n≥2时,2bn=bn-1+bn+1(n≥2), ∴数列bn是等差数列.(4分) (II)由及式①、②易得, 因此bn 的公差  , 从而,(5分) 得, 所以当n≥2时,,③ 又a1=1也适合式③, ∴.(6分) 设P=2n,Q=2n-n(n+1), 当n=1时,P=Q,当n=2,3,4时,P<Q 当n=5时,P>Q,当n=6时,P>Q 由此猜想当n≥5时,P>Q(8分) 以下用数学归纳法证明. (1)当N=5时,P>Q显然成立,(9分) (2)假设当n=k(k≥5)时, P>Q成立,即2n>k(k+1)-k2+k成立, 则当n=k+1时,P=2K+1=2•2k>2k2+2k =(k2+2k+1)+(k+1)+(k2-k-2)=(k+1)2+(k+1)+(k+1)(k-2) ∵k≥5,∴(k+1)(k-2)>0即P=2k+1>(k+1)2+(k+1)成立. 故当n=k+1时,P>Q成立. 由(1)、(2)得,当n≥5时, P>Q成立.(11分) 因此,当n=1时,2n=2an, 当n=2,3,4时,2n<2an, 当n≥5时,2n>2an.(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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