Question

设数列{a_n}，{b_n}的各项均为正数，若对任意的正整数n，都有a_n，b_n²，a_n+1成等差数列，且b_n²，a_n+1，b_n+1²成等比数列．
（Ⅰ）求证数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）如果a₁=1，b₁=，比较2ⁿ与2a_n的大小．

Answer

（Ⅰ）利用已知条件可得数列{bn}与{an}的递推关系，代入2bn2=an+an+1整理，然后利用等差中项的证明数列{bn}为等差数列
（Ⅱ）结合（1）求出数列{bn}的公差d，进一步求得bn，然后利用递推公式an=bn-1．bn求出an，通过n的特殊值猜想2n与2an之间的大小关系，利用数学归纳法进行证明
【解析】
（Ⅰ）由题意，得2bn2=an+an+1，①
an+12=bn2bn+12，②（1分）
因为an＞0，bn＞0，所以由式②得an+1=bnbn+1，
从而当n≥2时，an=bn-1bn，
代入式①得2bn2=bn-1bn+bnbn+1，（3分）
故当n≥2时，2bn=bn-1+bn+1（n≥2），
∴数列bn是等差数列．（4分）
（II）由及式①、②易得，
因此bn 的公差  ，
从而，（5分）
得，
所以当n≥2时，，③
又a1=1也适合式③，
∴．（6分）
设P=2n，Q=2n-n（n+1），
当n=1时，P=Q，当n=2，3，4时，P＜Q
当n=5时，P＞Q，当n=6时，P＞Q
由此猜想当n≥5时，P＞Q（8分）
以下用数学归纳法证明．
（1）当N=5时，P＞Q显然成立，（9分）
（2）假设当n=k（k≥5）时，
P＞Q成立，即2n＞k（k+1）-k2+k成立，
则当n=k+1时，P=2K+1=2•2k＞2k2+2k
=（k2+2k+1）+（k+1）+（k2-k-2）=（k+1）2+（k+1）+（k+1）（k-2）
∵k≥5，∴（k+1）（k-2）＞0即P=2k+1＞（k+1）2+（k+1）成立．
故当n=k+1时，P＞Q成立．
由（1）、（2）得，当n≥5时，
P＞Q成立．（11分）
因此，当n=1时，2n=2an，
当n=2，3，4时，2n＜2an，
当n≥5时，2n＞2an．（12分）