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满分5
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高中数学试题
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设函数,方程x=f(x)有唯一解,其中实数a为常数,,f(xn)=xn+1(n∈...
设函数
,方程x=f(x)有唯一解,其中实数a为常数,
,f(x
n
)=x
n+1
(n∈N
*
)
(1)求f(x)的表达式;
(2)求x
2011
的值;
(3)若
且
,求证:b
1
+b
2
+…+b
n
<n+1.
(1)由方程x=f(x)有唯一解,则ax2+(2a-1)x=0有唯一解,知 ,由此能求出f(x)的表达式; (2)由f(xn)=xn+1,知,由 等差数列的定义可求出数列{xn}的通项公式; (3)由 b1+b2+…+bn-n<1,由此能证明b1+b2+…+bn<n+1. 【解析】 (1)由,可化简为ax(x+2)=x∴ax2+(2a-1)x=0 ∴当且仅当时,方程x=f(x)有唯一解. 从而 (2)由已知f(xn)=xn+1(n∈N*),得 ∴,即 ∴数列是以为首项,为公差的等差数列.,∴ ∵, ∴,即 ∴ 故 (3)证明:∵, ∴∴ ∴ 故b1+b2+…+bn<n+1.
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考点分析:
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.
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n
2
,a
n+1
,b
n+1
2
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1
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,比较2
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1
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1
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1
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,
,函数
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试题属性
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难度:中等
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