Question

已知抛物线x²=2py（p＞0）的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，分别过A、B作y轴的平行线依次交抛物线的准线于A₁，B₁两点，Q是A₁B₁的中点，连AQ、BQ、FA₁、FB₁、FQ有下列命题：
①点Q是△A₁FB₁的外心；
②△AQB的外心有可能在此抛物线上；
③AQ、FA₁、x轴相交于一点；
④线段AA₁、BB₁、FQ的长度满足：FQ²=BB₁•AA₁
上述命题正确的有    （写出所有真命题的序号）

Answer

①只需要说明A1F⊥FB1即可；②由于易得AQ⊥QB，故△AQB的外心是线段AB的中点；③④取特殊位置AB∥x轴，可知结论正确．
【解析】
取特殊位置AB∥x轴①则，故有A1F⊥FB1，所以点Q是△A1FB1的外心；②得AQ⊥QB，故△AQB的外心是线段AB的中点；③由于此时AFQA1是矩形，故正确；④FQ=BB1=AA1=p，显然FQ2=BB1•AA1
故答案为：①③④．