Question

设S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n=n²+pn，n∈N^*，其中p是实数．
（1）若数列为等差数列，求p的值；
（2）若对于任意的m∈N^*，a_m，a_2m，a_4m成等比数列，求p的值；
（3）在（2）的条件下，令b₁=a₁，b_n=，其前n项和为T_n，求T_n关于n的表达式．

Answer

（1）由题意Sn=n2+pn，n∈N*，要使数列为等差数列，根据等差数列的性质，从而求出p值；
（2）由题意am，a2m，a4m成等比数列，根据等比数列的性质，得出关于m的等式，从而求出p值；
（3）由（2）p=1代入Sn=n2+pn，利用递推法进行求解出an的通项公式，然后凑成等比数列，然后利用等比数列的求和公式进行求解；
【解析】
（1）数列成等差数列的充要条件是
即n2+pn=a2n2+2abn+b2恒成立  …（3分）
∴

∴成等差数列的充要条件是：p=0
（2）∵Sn=n2+pn
∴a1=1+p
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+pn-[（n-1）2+p（n-1）]=2n+p-1
满足a1=1+p
∴an=2n+p-1（n∈N*）…（9分）
由am，a2m，a4m成等比数列，得
（4m+p-1）2=（2m+p-1）（8m+p-1）
化简得：2m（p-1）=0
∵m∈N*
∴p=1
又当p=1时，am≠0，a2m≠0，a4m≠0
∴p=1即为所求的值，
（3）∵Sn=n2+pn，n∈N，递推下一项Sn-1=（n-1）2+n-1，
∴Sn-Sn-1=an，
∴an=2n，
∴bn==2n+1-2，b1=2，
∴bn+2=2n+1，对其进行累加，
∴Tn+2n=，
∴Tn=2n+3-2n-4；