Question

已知函数f（x）=x⁴-4x³+ax²+1．
（1）当a=4时，求f（x）的单调区间和极值；
（2）若对任意x∈R，f（x）≥2ax-f'（x）恒成立，求a的取值范围．

Answer

（1）正确求解该函数的导数是解决本题的关键，通过求解函数的临界点，确定出函数的单调区间的分段点，通过导函数的正负确定出函数的增减区间进而确定出函数的极值；
（2）将恒成立问题进行转化与化归是解决本题的关键．通过整体思想转化为二次问题是解决本题的关键．注意分类讨论思想的运用，列出关于字母a的不等式达到求解本题的目的．
【解析】
（1）当a=4时，令f′（x）=4x3-12x2+8x=0，得x=0或x=1或x=2，
∴由f′（x）＞0得出f（x）的单调增区间为（0，1），（2，+∞）；由f′（x）＜0得出f（x）的单调减区间为（-∞，0），（1，2）．
因此f（x）极大=f（1）=2，f（x）极小=f（0）=1，f（x）极小=f（2）=1．
（2）由f（x）≥2ax-f'（x）恒成立，得x4-4x3+ax2+1≥2ax-（4x3-12x2+2ax），
即x4+（a-12）x2+1≥0恒成立，∴或，
解得a≥10．故a的取值范围为[10，+∞）．