Question

（文）在△ABC中，A点的坐标为（3，0），BC边长为2，且BC在y轴上的区间[-3，3]上滑动．
（1）求△ABC外心的轨迹方程；
（2）设直线l：y=3x+b与（1）的轨迹交于E，F两点，原点到直线l的距离为d，求的最大值．并求出此时b的值．

Answer

（1）设B点的坐标为（0，y），则C点坐标为（0，y+2）且-3≤y≤1，则由BC边的垂直平分线，AB的垂直平分线即可求的△ABC外心的轨迹方程
（2）将y=3x+b代入y2=6x-8得9x2+6（b-1）x+b2+8=0．，由y2=6x-8及-2≤y≤2，得．则问题转化为9x2+6（b-1）x+b2+8=0在区间上有两个实根，结合方程的根的分布可求b的范围，根据弦长公式可得，再由原点到直线l的距离为，，代入结合二次函数的性质可求
【解析】
（文）（1）设B点的坐标为（0，y），则C点坐标为（0，y+2）（-3≤y≤1），
则BC边的垂直平分线为  y=y+1①，AB的垂直平分线为②
由①②消去y，得y2=6x-8．
∵-3≤y≤1，
∴-2≤y=y+1≤2．
故所求的△ABC外心的轨迹方程为：y2=6x-8（-2≤y≤2）．
（2）将y=3x+b代入y2=6x-8得9x2+6（b-1）x+b2+8=0．
由y2=6x-8及-2≤y≤2，得．
所以方程①在区间有两个实根．
设f（x）=9x2+6（b-1）x+b2+8，则方程③在上有两个不等实根的充要条件是

解之得-4≤b≤-3．
∵ 
∴由弦长公式，得
又原点到直线l的距离为，
∴
∵-4≤b≤-3，∴．
∴当，即b=-4时，．