Question

由曲线x²=2y，x²=-2y，x=2，x=-2围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V₁；满足x²+y²≤4，x²+（y-1）²≥1，x²+（y+1）²≥1的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V₂，试写出V₁与V₂的一个关系式    ．

Answer

由于旋转体的体积为V1由曲线x2=2y，x2=-2y，x=2，x=-2围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体，利用体积的分割法可知体积；而旋转体的体积为：x2+y2≤4，x2+（y-1）2≥1，x2+（y+1）2≥1的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体，利用体积分割法可以求得 ，进而可得关系式V1与V2的大小关系
【解析】
因为旋转体的体积为V1由曲线x2=2y，x2=-2y，x=2，x=-2围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体，
利用体积的分割法可知 则．
又旋转体的体积为V2：x2+y2≤4，x2+（y-1）2≥1，x2+（y+1）2≥1的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体，它应该为一个大的球体减去两个球半径一样的小的球体，即：，
所以可得关系式V1＜V2．
故答案为：V1＜V2．