Question

定义双曲正弦函数y=sin hx=（e^x-e^-x），双曲余弦函数y=cos hx=（e^x+e^-x）．
（1）各写出四条双曲正弦函数和双曲余弦函数的性质．（定义域除外）
（2）给出双曲正切函数、双曲余切函数、双曲正割函数和双曲余割函数的定义式，探究并证明六者间的平方关系．
（3）模仿三角函数中两角的和与差关系，探究并证明双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数的“两角”和与差关系．

Answer

（1）由sin hx=（ex-e-x） 是奇函数，单调递增，无周期性，值域为R．同理写出cos hx=（ex+e-x）的性质．
（2）利用同角三角函数的基本关系可得双曲正切函数、双曲余切函数、双曲正割函数和双曲余割函数的定义式，计算求得 cos h2（x）-sin h2（x）=1；cot h2（x）-csc h2（x）=1；tan h2（x）+sec h2（x）=1．
（3）利用两角和差的三角公式，写出sin h（x+y）、sin h（x-y）、cos h（x+y）、tan h（x+y）及tan h（x-y ）的表达式．
【解析】
（1）sin hx=（ex-e-x）  奇函数，单调递增，无周期性，值域为R．
cos hx=（ex+e-x） 偶函数，R上无单调，无周期性，值域为[1，+∞）．
（2）tan hx=；cot hx=；sec hx=；csc hx=．
cos h2（x）-sin h2（x）=1；cot h2（x）-csc h2（x）=1；tan h2（x）+sec h2（x）=1．
（3）sin h（x+y）=sin h（x）•cos h（y）+cos h（x）•sin h（y），
sin h（x-y）=sin h（x）•cos h（y）-cos h（x）•sin h（y），
cos h（x+y）=cos h（x）•cos h（y）+sin h（x）•sin h（y），
cos h（x-y）=cos h（x）•cos h（y）-sin h（x）•sin h（y），
tan h（x+y）=；tan h（x-y）=．