Question

定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，．
（1）用定义证明f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）求出f（x）在R上的解析式．

Answer

（1）先设x1，x2是（0，+∞）上任意两实数，且x1＜x2 ，再用作差法比较f（x1）与f（x2）的大小，作差时，需要把差变形为几个因式的乘积的形式，再判断每个因式的符号，最后得出结论即可．
（2）先根据x＞0时函数的解析式求出x＜0时函数的解析式，因为函数为奇函数，所以f（0）=0，因为当x的取值范围不同时，函数解析式不同，所以函数为分段函数，把每段的解析式写出，就得到f（x）在R上的解析式．
【解析】
（1）设x1，x2是（0，+∞）上任意两实数，且x1＜x2
则f（x1）-f（x2）=-==
==
∵x1，x2是（0，+∞）上任意两实数，且x1＜x2 ，
∴0，0，0，
∴＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（2）设x＜0，则-x＞0，
∴=
∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=-
又∵f（0）=0
∴