Question

设m＞3，对于有穷数列{a_n}（n=1，2，3…，m），令b_k为a₁，a₂…a_k中的最大值，称数列{b_n}为{a_n}的“创新数列”．数{b_n}中不相等项的个数称为{a_n}的“创新阶数”．例如数列2，1，3，7，5的创新数列为2，2，3，7，7，创新阶数为3．
考察自然数1，2…m（m＞3）的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{c_n}．
（Ⅰ）若m=5，写出创新数列为3，4，4，5，5的所有数列{c_n}；
（Ⅱ） 是否存在数列{c_n}，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列{c_n}，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）在创新阶数为2的所有数列{c_n}中，求它们的首项的和．

Answer

（I）根据bk为a1，a2…ak中的最大值，称数列{bn}为{an}的“创新数列”，可得数列3，4，1，5，2与数列3，4，2，5，1的“创新数列”为3，4，4，5，5；
（II）设数列{cn}的创新数列为{en}（n=1，2，3…，m），{en}为等差数列，设其公差为d，讨论d=0，d=1，以及当d=2时，因为em=e1+（m-1）d=2m-2+e1，又m＞3，e1＞0，所以em＞m，这与em=m矛盾，所以此时{en}不存在，即不存在{cn}使得它的创新数列为d=2的等差数列，从而得到结论；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，em=m，由题意，得e1=c1，所以当数列{cn}的创新阶数为2时，{en}必然为c1，c1，…c1，m，m…m（其中c1＜m）由排列组合知识，得创新数列为k，k，…，k，m，m…，m的符合条件的{cn}的个数，在创新阶数为2的所有数列{cn}中，它们的首项的和为=（m-1）!．
（Ⅰ）【解析】
由题意，创新数列为3，4，4，5，5的数列{cn}有两个，即：
（1）数列3，4，1，5，2；---------------------------（2分）
（2）数列3，4，2，5，1．---------------------------（3分）
注：写出一个得（2分），两个写全得（3分）．
（Ⅱ）答：存在数列{cn}，它的创新数列为等差数列．
【解析】
设数列{cn}的创新数列为{en}（n=1，2，3…，m），
因为em为c1，c2，…cm中的最大值．
所以em=m．
由题意知：ek为c1，c2，…ck中最大值，ek+1为c1，c2，…ck+1中最大值，
若{en}为等差数列，设其公差为d，则d，ek+1，ek，0，-----------（5分）
当d=0时，{en}为常数列，又em=m，
所以数列{en}为m，m，m，…，m，此时数列{cn}是首项为m的任意一个符合条件的数列；
当d=1时，因为em=m，
所以数列{en}为1，2，3…，m，此时数列{cn}是1，2，3…，m；-----------（7分）
当d=2时，因为em=e1+（m-1）d=2m-2+e1，
又m＞3，e1＞0，所以em＞m，
这与em=m矛盾，所以此时{en}不存在，即不存在{cn}使得它的创新数列为d=2的等差数列．
综上，当数列{cn}为：（1）首项为m的任意符合条件的数列；
（2）数列1，2，3…，m时，它的创新数列为等差数列．---------------------------（9分）
注：此问仅写出结论（1）（2）者得（2分）．
（Ⅲ）【解析】
设{cn}的创新数列为{en}（n=1，2，3…，m），
由（Ⅱ）知，em=m，
由题意，得e1=c1，
所以当数列{cn}的创新阶数为2时，{en}必然为c1，c1，…c1，m，m…m（其中c1＜m），---------------------（10分）
由排列组合知识，得创新数列为k，k，…，k，m，m…，m的符合条件的{cn}的个数为
Cm-1m-kAm-k-1m-k-1Ak-1k-1==，----------------（12分）
所以，在创新阶数为2的所有数列{cn}中，它们的首项的和为
=（m-1）!．---------------------------（14分）