Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，CB=1，CA=，AA₁=M为侧棱CC₁上一点，AM⊥A₁C；
（1）求证：B₁C₁∥平面A₁BC；
（2）求异面直线A₁B与AC所成的角的余弦值；
（3）求点C到平面ABM的距离．

Answer

（1）利用直棱柱的性质说明B1C1∥BC，B1C1⊄平面A1BC，BC⊂平面A1BC，即可证明B1C1∥平面A1BC．
（2）说明∠BA1C1或其补角是异面直线A1B与AC所成的角．连接BC1，求出BC1=，在Rt△ABC1中，求出的值即可．
（3）过点C作CD⊥AB于N，连接MD，过点C作CH⊥MD于H，说明CH为点C到平面ABM的距离．
通过△A1AC∽△ACM，求出CM，在Rt△MCD中，求出MD，利用，解出CH．
【解析】
（1）证明：在直棱柱ABC-A1B1C1中，
B1C1∥BC，B1C1⊄平面A1BC，BC⊂平面A1BC
∴B1C1∥平面A1BC．
（2）在直棱柱ABC-A1B1C1中，AC∥A1C1，
∴∠BA1C1或其补角是异面直线A1B与AC所成的角．
连接BC1，
∴CC1⊥平面A1B1C1，
∴CC1⊥A1C1，
又∠A1C1B1=∠ACB=90°，即A1C1⊥B1C1
∴A1C1⊥平面BB1C1C，
∴BC1⊂平面BB1C1C，
∴A1C1⊥BC1，
在Rt△BCC1中，BC=1，CC1=AA1=，
∴BC1=
在Rt△ABC1中，A1C1=，BC1=，
∴A1B=
∴．
（3）过点C作CD⊥AB于N，连接MD，过点C作CH⊥MD于H，
∵CC1⊥平面ABC，
∴由三垂线定理，得MD⊥AB，
∴AB⊥平面MCD，
∴AB⊥CH，又CH⊥MD，
∴CH⊥平面ABM，即CH为点C到平面ABM的距离．
在平面A1ACC1中，由A1C⊥AM，易得△A1AC∽△ACM，
∴，
∴，
在Rt△ABC中，AB=．
∴，
∴，
在Rt△MCD中，MD=．
∴．