Question

如图，设抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，且A、B两点坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂），y₁＞0，y₂＜0，P是此抛物线的准线上的一点，O是坐标原点．
（Ⅰ）求证：y₁y₂=-p²；
（Ⅱ）直线PA、PF、PB的方向向量为（1，a）、（1，b）、（1，c），求证：实数a、b、c成等差数列；
（Ⅲ）若．

Answer

（I）（1）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为：，由此可知y1y2=-p2（1分）
（2）当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB方程为：，则由所以y1y2=-p2（3分）
（Ⅱ）由已知a=kPA，b=kPF，c=kPB，设，所以．由此入手可知a、b、c成等差数列．
（Ⅲ）由题意知a•c=-1，a-b=b-c．再由kAB的取值范围分别进行讨论，可以推导出θ=|α-β|．
证明：（I）（1）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为：，
则，∴y1y2=-p2（1分）
（2）当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB方程为：，
则由∴y1y2=-p2（3分）
（Ⅱ）由已知a=kPA，b=kPF，c=kPB，
设∴
故
=
=
=
=
∴a、b、c成等差数列（8分）
（Ⅲ）∵
∴PA⊥PB，故a•c=-1
由（Ⅱ）可知a+c=2b，即a-b=b-c
①若AB⊥x轴，则α=β=45°，θ=0°∴θ=α-β
②若kAB＞0，则
同理可得tanβ=α
∴
即|tan（α-β）|=|b|=tanθ
易知∠PFO，∠BPF，∠APF都是锐角∴θ=|α-β|
③若kAB＜0，类似的也可证明θ=|α-β|
总上所述，θ=|α-β|（14分）