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如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两...

如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,且A、B两点坐标为(x1,y1),(x2,y2),y1>0,y2<0,P是此抛物线的准线上的一点,O是坐标原点.
(Ⅰ)求证:y1y2=-p2
(Ⅱ)直线PA、PF、PB的方向向量为(1,a)、(1,b)、(1,c),求证:实数a、b、c成等差数列;
(Ⅲ)若manfen5.com 满分网

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(I)(1)当直线AB的斜率不存在时,设直线AB的方程为:,由此可知y1y2=-p2(1分) (2)当直线AB的斜率存在且不为0时,设直线AB方程为:,则由所以y1y2=-p2(3分) (Ⅱ)由已知a=kPA,b=kPF,c=kPB,设,所以.由此入手可知a、b、c成等差数列. (Ⅲ)由题意知a•c=-1,a-b=b-c.再由kAB的取值范围分别进行讨论,可以推导出θ=|α-β|. 证明:(I)(1)当直线AB的斜率不存在时,设直线AB的方程为:, 则,∴y1y2=-p2(1分) (2)当直线AB的斜率存在且不为0时,设直线AB方程为:, 则由∴y1y2=-p2(3分) (Ⅱ)由已知a=kPA,b=kPF,c=kPB, 设∴ 故 = = = = ∴a、b、c成等差数列(8分) (Ⅲ)∵ ∴PA⊥PB,故a•c=-1 由(Ⅱ)可知a+c=2b,即a-b=b-c ①若AB⊥x轴,则α=β=45°,θ=0°∴θ=α-β ②若kAB>0,则 同理可得tanβ=α ∴ 即|tan(α-β)|=|b|=tanθ 易知∠PFO,∠BPF,∠APF都是锐角∴θ=|α-β| ③若kAB<0,类似的也可证明θ=|α-β| 总上所述,θ=|α-β|(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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