Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为a，侧棱长为，点D在棱A₁C₁上．
（1）若A₁D=DC₁，求证：直线BC₁∥平面AB₁D；
（2）若，二面角A₁-AB₁-D平面角的大小为θ，求tanθ的值．

Answer

（1）连接A1B交AB1于E点，根据三角形的中位线定理，我可DE∥BC1，再由线面平行的判定定理，即可得到直线BC1∥平面AB1D；
（2）过D作DM⊥A1B1于M，则DM⊥平面A1ABB1，过M作MN⊥AB1于N，连接DN，则∠MND为二面角A1-AB1-D的平面角θ，解三角形DMN即可求出二面角A1-AB1-D平面角的正切值．
【解析】
（1）证明：连接A1B交AB1于E点，（1分）
在平行四边形ABB1A1中，
有A1E=BE，又A1D=DC1（3分）
∴DE为△A1BC1的中位线，从而DE∥BC1，
又DE⊂平面AB1D
∴直线BC1∥平面AB1D；                           （5分）
（2）过D作DM⊥A1B1于M，则DM⊥平面A1ABB1，过M作MN⊥AB1于N，连接DN，则∠MND为二面角A1-AB1-D的平面角θ，（7分）
∵，
∴，，
过A1作A1F⊥AB1于F，则，（10分）
∴．                                         （12分）