Question

函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，给出下面关于f（x）的命题：
①f（x）是偶函数 
 ②f（x）是奇函数  
③f（x）=f（x+2）
④f（x+3）是奇函数其中正确的命题序号是    ．
（注：把你认为正确的命题序号都填上）

Answer

首先由奇函数性质求f（x）的周期以及对称中心，然后利用所求结论来分别判断四个命题即可．
【解析】
∵f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，
∴f（-x+1）=-f（x+1），f（-x-1）=-f（x-1），
∴函数f（x）关于点（1，0）及点（-1，0）对称，不是奇函数也不是偶函数，①②错；
又因为：函数f（x）是周期T=2[1-（-1）]=4的周期函数，所以③错；
∴f（-x-1+4）=-f（x-1+4），
f（-x+3）=-f（x+3），
f（x+3）是奇函数，④成立．
故只有④为真命题．
故答案为：④．