Question

设函数f（x）=|x²-4x-5|．
（1）在区间[-2，6]上画出函数f（x）的图象；
（2）当k＞2时，求证：在区间[-1，5]上，y=kx+3k的图象位于函数f（x）图象的上方．

Answer

（1）先画出f（x）=x2-4x-5的图象，对于y＜0的函数图象画关于x轴对称的图象．
（2）作函数g（x）=k（x+3）-（-x2+4x+5）=x2+（k-4）x+（3k-5），要使y=kx+3k的图象位于函数f（x）图象的上方，只需证明g（x）的最小值大于0即可．
解（1）如图，
（2）[解法一]当x∈[-1，5]时，f（x）=-x2+4x+5．
g（x）=k（x+3）-（-x2+4x+5）=x2+（k-4）x+（3k-5）=，
∵k＞2，∴．又-1≤x≤5，
①当，即2＜k≤6时，取，g（x）min=．
∵16≤（k-10）2＜64，∴（k-10）2-64＜0，
则g（x）min＞0．
②当，即k＞6时，取x=-1，g（x）min=2k＞0．
由 ①、②可知，当k＞2时，g（x）＞0，x∈[-1，5]．
因此，在区间[-1，5]上，y=k（x+3）的图象位于函数f（x）图象的上方．
[解法二]当x∈[-1，5]时，f（x）=-x2+4x+5．
由得x2+（k-4）x+（3k-5）=0，
令△=（k-4）2-4（3k-5）=0，解得 k=2或k=18，
在区间[-1，5]上，当k=2时，y=2（x+3）的图象与函数f（x）的图象只交于一点（1，8）； 
当k=18时，y=18（x+3）的图象与函数f（x）的图象没有交点．
如图可知，由于直线y=k（x+3）过点（-3，0），当k＞2时，直线y=k（x+3）是由直线y=2（x+3）绕点（-3，0）逆时针方向旋转得到．因此，在区间[-1，5]上，y=k（x+3）的图象位于函数f（x）图象的上方．