Question

是函数f（x）=ln（e^x+1）+ax为偶函数的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

Answer

对充分性和必要性分别加以论证：将代入函数的表达式，不难根据函数奇偶性定义得到函数f（x）为偶函数，从而充分性成立；反之再根据函数为偶函数，用f（x）-f（-x）=0恒成立，采用比较系数法，可得，说明必要性成立．由此不难选出正确的选项．
【解析】
先看充分性
若a=-，则函数f（x）=ln（ex+1）-x=ln=ln（）
可得f（-x）=ln（）=f（x），函数是偶函数，充分性成立；
再看必要性
若函数f（x）=ln（ex+1）+ax为偶函数，即
f（-x）=ln（e-x+1）-ax=f（x），
可得ln（ex+1）+ax-（ln（e-x+1）-ax）=0，对任意实数x恒成立
∴对任意实数x恒成立，
而，上式变成ln（ex）+2ax=（2a+1）x=0对任意实数x恒成立
所以a=-，可得必要性成立
综上，是函数f（x）=ln（ex+1）+ax为偶函数的充分必要条件
故选C