Question

在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是A₁B₁和B₁B的中点．
（1）求直线AM和CN所成角的大小；
（2）若P为B₁C₁的中点，求证：B₁D⊥平面PMN；
（3）求点A到平面PMN的距离．

Answer

（1）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B1，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可；
（2）根据面面平行的判定定理证明平面A1C1B∥平面MNP，而B1D⊥平面A1C1B，从而得到结论；
（3）利用等体积转化，设点A到平面PMN的距离为h，VA-MNP=VP-MNA建立等式，解之即可求出所求．
【解析】
（1）如图，将AM平移到B1E，NC平移到B1F，则∠EB1F为直线AM与CN所成角或其补角
设边长为2，则B1E=B1F=，EF=
∴由余弦定理得cos∠EB1F=，
即直线AM和CN所成角的大小为arccos
（2）根据中位线定理可知MN∥A1B，NP∥C1B
∴MN∥平面A1C1B，NP∥平面A1C1B，MN∩NP=P
∴平面A1C1B∥平面MNP，
而B1D⊥平面A1C1B，
所以B1D⊥面PMN；
（3）S△MNP=，S△MNA=
设点A到平面PMN的距离为h
∴VA-MNP=VP-MNA
即S△MNPh=S△MNA×1
∴h=