Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，且．
（1）若等差数列{b_n}恰好使数列{a_n+b_n}成公比为的等比数列，求通项b_n
（2）求通项a_n
（3）求的值．

Answer

（1）化简数列的关系式为：，通过等差数列{bn}恰好使数列{an+bn}成公比为的等比数列，直接得到通项bn．
（2）结合（1）求出数列{an-3n+2}的通项an-3n+2的表达式，然后解出通项an．
（3）先求出数列的前n项和，然后利用数列的极限的运算法则直接求的值．
【解析】
（1）因为，
所以，
所以数列{an-3n+2}以1为首项，为公比的等比数列，
所以bn=-3n+2时，等差数列{bn}恰好使数列{an+bn}成公比为的等比数列．
（2）由（1）可知数列{an-3n+2}以1为首项，为公比的等比数列，
所以an-3n+2=（）n-1，所以an=（）n-1+3n-2
（3）由（2）可知，数列{an}的前n项和为：
+=；
∴==．