Question

如图，已知点F（0，1），直线L：y=-2，及圆C：x²+（y-3）²=1．
（1）若动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，求动点M的轨迹E的方程；
（2）过点F的直线g交轨迹E于G（x₁，y₁）、H（x₂，y₂）两点，求证：x₁x₂ 为定值；
（3）过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形PACB的面积S最小，求点P的坐标及S的最小值．

Answer

（1）由动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，可得M到点F的距离与它到直y=-1的距离相等，由抛物线的定义可知M的轨迹是以F为焦点，以y=-1为准线的抛物线，从而可求方程
（2）由题意可得直线g的斜率存在，故可设直线g的方程为y=kx+1，联立直线与抛物线方程，由方程的根与系数关系可求
（3）设P（x，y），则x2=4y（y≥0），由圆的切线性质可得S四边形PACB=2S△PAC==PA==，由二次函数的性质可求最小值及取得最小值时的 p
【解析】
（1）由动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，可得M到点F的距离与它到直y=-1的距离相等
由抛物线的定义可知M的轨迹是以F为焦点，以y=-1为准线的抛物线
其方程为x2=4y
（2）由题意可得直线g的斜率存在，故可设直线g的方程为y=kx+1
联立方程  整理可得 x2-4kx-4=0
由方程的根与系数关系可得x1x2=-4
 （3）设P（x，y），则x2=4y（y≥0）
由圆的切线的性质可得PA=PB，CA⊥PA，CB⊥PB
S四边形PACB=2S△PAC==PA
===
∴P（±2，1），