Question

甲有一只放有x个红球，y个白球，z个黄球的箱子，箱内共有6个球，且每种颜色的球至少有一个；乙有一只放有3个红球，2个白球，1个黄球的箱子．两人各自从自己的箱子中任取一球，规定：当两球同色时为甲胜，两球异色时为乙胜．
（1）当x=1，且甲胜的概率为时，求y与z；
（2）当x=2，y=3，z=1时，规定甲取红，白，黄而胜的得分分别为1分，2分，3分，负则得0分，记甲得分为随机变量ξ，求ξ的分布列及期望．

Answer

（1）由题意可得：两人各自从自己的箱子中任取一球，共有36种不同的取法，并且得到：甲获胜的不同取法有：3+2y+z，再根据等可能事件的概率公式得到：2y+z=6，结合y+z=5，可得答案．
（2）由题意可得：ξ可能取的数值为0，1，2，3，再分别求出其发生的概率，进而得到ξ的分布列与数学期望．
【解析】
（1）由题意可得：两人各自从自己的箱子中任取一球，共有6×6=36种不同的取法，
∵x=1，即红球有1个，
∴甲获胜的不同取法有：1×3+y×2+z×1=3+2y+z，
∴P（甲胜）=，整理可得：2y+z=6，
又∵x=1，
∴y+z=5，
∴解得y=1，z=4．
（2）由题意可得：ξ可能取的数值为0，1，2，3．
∴P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，
∴P（ξ=0）=1-P（ξ=1）-P（ξ=2）-P（ξ=3）=1---=，
∴ξ的分布列为：

ξ 1 2 3
P

∴ξ的数学期望为．