Question

如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=AF=1．
（1）求四棱锥F-ABCD的体积V_F-ABCD．
（2）求证：平面AFC⊥平面CBF．
（3）在线段CF上是否存在一点M，使得OM∥平面ADF，并说明理由．

Answer

（1）由题意求出四棱锥F-ABCD的高，然后求四棱锥F-ABCD的体积VF-ABCD．
（2）要证平面AFC⊥平面CBF．只需证明AF垂直平面CBF内的两条相交直线BC、BF即可；
（3）在线段CF上是存在一点M，取CF中点记作M，设DF的中点为N，连接AN，MN，MNAO为平行四边形，即可说明OM∥平面ADF．
【解析】
（1）∵AD=EF=AF=1∴∠OAF=60°
作FG⊥AB交AB于一点G，则
∵平面ABCD⊥平面ABEF
∴FG⊥面ABCD（3分）
所以
（2）∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，
平面ABCD∩平面ABEF=AB，
∴CB⊥平面ABEF，
∵AF⊂平面ABEF，
∴AF⊥CB，
又∵AB为圆O的直径，
∴AF⊥BF，∴AF⊥平面CBF．
∵AF⊂面AFC，∴平面AFC⊥平面CBF；
（3）取CF中点记作M，设DF的中点为N，连接AN，MN
则MN，又AO，则MNAO，
所以MNAO为平行四边形，（10分）
∴OM∥AN，
又AN⊂平面DAF，OM⊄平面DAF，
∴OM∥平面DAF． （12分）