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已知定义在R上的函数f(x)=ax3-3x2,其中a为大于零的常数. (1)当时...

已知定义在R上的函数f(x)=ax3-3x2,其中a为大于零的常数.
(1)当manfen5.com 满分网时,令h(x)=f′(x)+6x,求证:当x∈(0,+∞)时,h(x)≥2elnx(e为自然对数的底数.)
(2)若函数g(x)=f(x)+f'(x),x∈[0,2],在x=0处取得最大值,求a的取值范围.
(1)要证当x∈(0,+∞)时,h(x)≥2elnx即证f′(x)+6x-2elnx≥0,令F(x)=f′(x)+6x-2elnx=x2-2elnx 即证明F(x)的最小值≥0即可 (2)要求函数g(x)=f(x)+f'(x),x∈[0,2],在x=0处取得最大值,即先根据求出函数的极值,在与断点出的函数值比较,得出最大值,从而得到关于a的不等式 【解析】 (1)因为,所以f'(x)=x2-6x 所以h(x)=f'(x)+6x=x2,令F(x)=x2-2elnx,(x>0)∴ 所以 所以当时,F(x)取得极小值,为F(x)在(0,+∞)上的最小值 因为 所以,即x2≥2elnx (2)g(x)=ax3+(3a-3)x2-6x,x∈[0,2] g'(x)=3ax2+2(3a-3)x-6(*),令g'(x)=0有△=36a2+36>0 设方程(*)的两根为x1,x2则,设x1<0<x2 当0<x2<2时,g(x2)为极小值,所以g(x)在[0,2]上的最大值只能为g(0)或g(2); 当x2≥2时,g(x)在[0,2]上单调递减,最大值为g(0),所以g(x)在[0,2]上的最大值只能为g(0)或g(2); 又已知g(x)在x=0处取得最大值,所以g(0)≥g(2) 即0≥20a-24解得,所以
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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