Question

如图，已知▱ABCD，直线BC⊥平面ABE，F为CE的中点．
（1）求证：直线AE∥平面BDF；
（2）若∠AEB=90°，求证：平面BDF⊥平面BCE．

Answer

（1）欲证AE∥平面BFD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AE与平面BFD内一直线平行，设AC∩BD=G，连接FG，
根据中位线定理可知FG∥AE，而AE⊄平面BFD，FG⊂平面BFD，满足定理所需条件；
（2）欲证平面DBF⊥平面BCE，根据面面垂直的判定定理可知在平面DBF内一直线与平面BCE垂直，根据线面垂直的判定定理可证得直线AE⊥平面BCE，而FG∥AE，则直线FG⊥平面BCE，而直线FG⊂平面DBF，满足定理条件．
证明：（1）设AC∩BD=G，连接FG．
由四边形ABCD为平行四边形，得G是AC的中点．
又∵F是EC中点，∴在△ACE中，FG∥AE．（3分）
∵AE⊄平面BFD，FG⊂平面BFD，∴AE∥平面BFD；（6分）
（2）∵，∴AE⊥BE．
又∵直线BC⊥平面ABE，∴AE⊥BC．
又BC∩BE=B，∴直线AE⊥平面BCE．（8分）
由（1）知，FG∥AE，∴直线FG⊥平面BCE．（10分）
又直线FG⊂平面DBF，∴平面DBF⊥平面BCE．（14分）