Question

如图，在直角坐标系中，A，B，C三点在x轴上，原点O和点B分别是线段AB和AC的中点，已知AO=m（m为常数），平面上的点P满足PA+PB=6m．
（1）试求点P的轨迹C₁的方程；
（2）若点（x，y）在曲线C₁上，求证：点一定在某圆C₂上；
（3）过点C作直线l，与圆C₂相交于M，N两点，若点N恰好是线段CM的中点，试求直线l的方程．

Answer

（1）由题意结合椭圆的定义可得点P的轨迹C1是以A，B为焦点的椭圆，且半焦距长c=m，长半轴长a=3m，从而写出C2的方程．
（2）若点（x，y）在曲线C1上，则点的坐标适合曲线的方程：．经过转换得x2+y2=m2，从而得出点一定在某一圆C2上．
（3）由题意C（3m，0），M（x1，y1），利用因为点N恰好是线段CM的中点，得到N点的坐标，代入C2的方程得方程组，即可解得直线l有且只有一条．
【解析】
（1）由题意可得点P的轨迹C1是以A，B为焦点的椭圆．…（2分）
且半焦距长c=m，长半轴长a=3m，则C1的方程为．…（5分）
（2）若点（x，y）在曲线C1上，则．设，，则x=3x，．…（7分）
代入，得x2+y2=m2，所以点一定在某一圆C2上．
…（10分）
（3）由题意C（3m，0）．…（11分）
设M（x1，y1），则x12+y12=m2．…①
因为点N恰好是线段CM的中点，所以．代入C2的方程得．…②
联立①②，解得x1=-m，y1=0．…（15分）
故直线l有且只有一条，方程为y=0．…（16分）
（若只写出直线方程，不说明理由，给1分）