Question

已知函数f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|．
（1）若关于x的方程|f（x）|=g（x）只有一个实数解，求实数a的取值范围；
（2）若当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间[-2，2]上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）．

Answer

（1）关于x的方程|f（x）|=g（x）只有一个实数解，可转化为|x-1|（|x+1|-a）=0只有一个解，进而转化为|x+1|=a，有且仅有一个等于1的解或无解，进行判断得出参数范围即可．
（2）根据自变量的取值范围进行分类讨论求参数的范围即可，此分类讨论是根据自变量进行分类的，故求得的参数范围必须求交集教参能满足恒成立．
（3）将所给的函数写成分段函数的形式，在每一段上对函数的最值进行讨论，求出最大值，再比较两段上的最值得到函数的最大值，由于参数的影响，函数的单调性不确定，故可以根据需要分成三段进行讨论
【解析】
（1）方程|f（x）|=g（x），即|x2-1|=a|x-1|，变形得|x-1|（|x+1|-a）=0，
显然，x=1已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a，
有且仅有一个等于1的解或无解，
由此得a＜0．
（2）不等式f（x）≥g（x）对x∈R恒成立，即（x2-1）≥a|x-1|（*）对x∈R恒成立，
①当x=1时，（*）显然成立，此时a∈R；
②当x≠1时，（*）可变形为，令
因为当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ（x）＞-2，
所以φ（x）＞-2，故此时a≤-2．
综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤-2．
（3）因为h（x）=|f（x）|+g（x）=|x2-1|+a|x-1|=（10分）
当2时，结合图形可知h（x）3在[-2，1]4上递减，在[1，2]5上递增，
且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，经比较，此时h（x）在[-2，2]上的最大值为3a+3．
当7时，结合图形可知h（x）8在[-2，-1]9，10上递减，
在，[1，2]上递增，且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，，
经比较，知此时h（x）在[-2，2]上的最大值为3a+3．
当12时，结合图形可知h（x）13在[-2，-1]14，15上递减，
在，[1，2]上递增，且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，，
经比较，知此时h（x）在[-2，2]上的最大值为a+3．
当17时，结合图形可知h（x）18在19，20上递减，
在，上递增，且h（-2）=3a+3＜0，h（2）=a+3≥0，
经比较，知此时h（x）在[-2，2]上的最大值为a+3．
当时，结合图形可知h（x）在[-2，1]上递减，在[1，2]上递增，
故此时h（x）在[-2，2]上的最大值为h（1）=0．
综上所述，当a≥0时，h（x）在[-2，2]上的最大值为3a+3；
当-3≤a＜0时，h（x）在[-2，2]上的最大值为a+3；
当a＜-3时，h（x）在[-2，2]上的最大值为0．（14分）