满分5 > 高中数学试题 >

已知函数f(x)=x2-1,g(x)=a|x-1|. (1)若关于x的方程|f(...

已知函数f(x)=x2-1,g(x)=a|x-1|.
(1)若关于x的方程|f(x)|=g(x)只有一个实数解,求实数a的取值范围;
(2)若当x∈R时,不等式f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(3)求函数h(x)=|f(x)|+g(x)在区间[-2,2]上的最大值(直接写出结果,不需给出演算步骤).
(1)关于x的方程|f(x)|=g(x)只有一个实数解,可转化为|x-1|(|x+1|-a)=0只有一个解,进而转化为|x+1|=a,有且仅有一个等于1的解或无解,进行判断得出参数范围即可. (2)根据自变量的取值范围进行分类讨论求参数的范围即可,此分类讨论是根据自变量进行分类的,故求得的参数范围必须求交集教参能满足恒成立. (3)将所给的函数写成分段函数的形式,在每一段上对函数的最值进行讨论,求出最大值,再比较两段上的最值得到函数的最大值,由于参数的影响,函数的单调性不确定,故可以根据需要分成三段进行讨论 【解析】 (1)方程|f(x)|=g(x),即|x2-1|=a|x-1|,变形得|x-1|(|x+1|-a)=0, 显然,x=1已是该方程的根,从而欲原方程只有一解,即要求方程|x+1|=a, 有且仅有一个等于1的解或无解, 由此得a<0. (2)不等式f(x)≥g(x)对x∈R恒成立,即(x2-1)≥a|x-1|(*)对x∈R恒成立, ①当x=1时,(*)显然成立,此时a∈R; ②当x≠1时,(*)可变形为,令 因为当x>1时,φ(x)>2,当x<1时,φ(x)>-2, 所以φ(x)>-2,故此时a≤-2. 综合①②,得所求实数a的取值范围是a≤-2. (3)因为h(x)=|f(x)|+g(x)=|x2-1|+a|x-1|=(10分) 当2时,结合图形可知h(x)3在[-2,1]4上递减,在[1,2]5上递增, 且h(-2)=3a+3,h(2)=a+3,经比较,此时h(x)在[-2,2]上的最大值为3a+3. 当7时,结合图形可知h(x)8在[-2,-1]9,10上递减, 在,[1,2]上递增,且h(-2)=3a+3,h(2)=a+3,, 经比较,知此时h(x)在[-2,2]上的最大值为3a+3. 当12时,结合图形可知h(x)13在[-2,-1]14,15上递减, 在,[1,2]上递增,且h(-2)=3a+3,h(2)=a+3,, 经比较,知此时h(x)在[-2,2]上的最大值为a+3. 当17时,结合图形可知h(x)18在19,20上递减, 在,上递增,且h(-2)=3a+3<0,h(2)=a+3≥0, 经比较,知此时h(x)在[-2,2]上的最大值为a+3. 当时,结合图形可知h(x)在[-2,1]上递减,在[1,2]上递增, 故此时h(x)在[-2,2]上的最大值为h(1)=0. 综上所述,当a≥0时,h(x)在[-2,2]上的最大值为3a+3; 当-3≤a<0时,h(x)在[-2,2]上的最大值为a+3; 当a<-3时,h(x)在[-2,2]上的最大值为0.(14分)
复制答案
考点分析:
相关试题推荐
设数列{an}的前n项的和为Sn,已知manfen5.com 满分网
(1)求S1,S2及Sn
(2)设manfen5.com 满分网,若对一切n∈N*,均有manfen5.com 满分网,求实数m的取值范围.
查看答案
如图,在直角坐标系中,A,B,C三点在x轴上,原点O和点B分别是线段AB和AC的中点,已知AO=m(m为常数),平面上的点P满足PA+PB=6m.
(1)试求点P的轨迹C1的方程;
(2)若点(x,y)在曲线C1上,求证:点manfen5.com 满分网一定在某圆C2上;
(3)过点C作直线l,与圆C2相交于M,N两点,若点N恰好是线段CM的中点,试求直线l的方程.

manfen5.com 满分网 查看答案
如图,某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道,赛道的前一部分为曲线段FBC,该曲线段是函数manfen5.com 满分网(A>0,ω>0),x∈[-4,0]时的图象,且图象的最高点为B(-1,2).赛道的中间部分为长manfen5.com 满分网千米的直线跑道CD,且CD∥EF.赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧manfen5.com 满分网
(1)求ω的值和∠DOE的大小;
(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”,矩形的一边在道路EF上,一个顶点在半径OD上,另外一个顶点P在圆弧manfen5.com 满分网上,且∠POE=θ,求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值.

manfen5.com 满分网 查看答案
如图,已知▱ABCD,直线BC⊥平面ABE,F为CE的中点.
(1)求证:直线AE∥平面BDF;
(2)若∠AEB=90°,求证:平面BDF⊥平面BCE.

manfen5.com 满分网 查看答案
已知manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网
(1)若manfen5.com 满分网,记α-β=θ,求manfen5.com 满分网的值;
(2)若manfen5.com 满分网,β≠kπ(k∈Z),且manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网,求证:manfen5.com 满分网
查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

Copyright @ 2008-2019 满分5 学习网 ManFen5.COM. All Rights Reserved.