Question

已知函数f（x）=x³-3ax²-3（2a+1）x-3，x∈R，a是常数．
（1）若，求函数y=f（x）在区间（-3，3）上零点的个数；
（2）若∀x＞-1，f′（x）＞-3恒成立，试证明a＜0．

Answer

（1）先求导函数f′（x）=3x2-3x-6，求得函数的极值，根据零点定理及函数的单调性，从而可得f（x）在区间（-3，-1）、（-1，2）上各有且仅有一个零点，在区间（2，3）上没有零点；
（2）问题等价于∀x＞-1，x2-2ax-2a＞0恒成立，再用分离参数得，利用基本不等式可求的最值．
【解析】
（1），，f′（x）=3x2-3x-6…（1分），
解f′（x）=0得x1=-1，x2=2…（2分），

x [-3，-1） -1 （-1，2） 2 （2，3]
f′（x） + - +
f（x） 递增 极大值 递减 极小值 递增

…（4分）
，，f（2）=-13，…（5分），
因为f（-3）f（-1）＜0、f（-1）f（2）＜0、f（2）f（3）＞0，根据零点定理及函数的单调性，f（x）在区间（-3，-1）、（-1，2）上各有且仅有一个零点，在区间（2，3）上没有零点，…（6分），即f（x）在区间（-3，3）上共有两个零点…（7分）．
（2）f′（x）=3x2-6ax-3（2a+1）…（8分），由f′（x）＞-3即3x2-6ax-3（2a+1）＞-3得∀x＞-1，x2-2ax-2a＞0恒成立…（10分），因为x＞-1，x+1＞0，所以…（11分），
设，则，等号当且仅当x=0时成立…（13分），
所以a＜0…（14分）．