Question

如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁B₁B⊥底面ABC，侧棱AA₁与底面ABC成60° 的角，AA₁=2．底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点，E是线段BC₁上一点，且BE=BC₁．
（1）求证：GE∥侧面AA₁BB；
（2）求平面B₁GE与底面ABC所成锐二面角的正切值．

Answer

（1）欲证GE∥侧面AA1B1B，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证GE与侧面AA1B1B 内一直线平行，延长B1E交BC于F，而GE∥AB1，GE⊄侧面AA1B1B，AB1⊂侧面AA1B1B，满足定理的条件；
（2）过B1作B1H⊥AB，垂足为H，在底面ABC内，过H作HT⊥AF，垂足为T，连B1T，根据二面角平面角的定义可知∠B1TH为所求二面角的平面角，在Rt△B1HT中求出此角的正切值即可．
【解析】
（1）延长B1E交BC于F，
∵△B1EC1∽△FEB，BE=EC1
∴BF=B1C1=BC，从而F为BC的中点． （2分）
∵G为△ABC的重心，
∴A、G、F三点共线，且=，
∴GE∥AB1，
又GE⊄侧面AA1B1B，AB1⊂侧面AA1B1B，
∴GE∥侧面AA1B1B （4分）
（2）在侧面AA1B1B内，过B1作B1H⊥AB，垂足为H，
∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，
∴B1H⊥底面ABC．又侧棱AA1与底面ABC成60°的角，AA1=2，
∴∠B1BH=60°，BH=1，B1H=（6分）
在底面ABC内，过H作HT⊥AF，垂足为T，连B1T．由三垂线定理有B1T⊥AF，又平面B1GE与底面ABC的交线为AF，
∴∠B1TH为所求二面角的平面角（8分）
∴AH=AB+BH=3，∠HAT=30°，
∴HT=AHsin30°=，
在Rt△B1HT中，tan∠B1TH=（10分）
从而平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为arctan （12分）．