Question

已知A、B分别为曲线C：+y²=1（a＞0）与x轴的左、右两个交点，直线l过点B且与x轴垂直，P为l上异于点B的点，连接AP与曲线C交于点M．
（1）若曲线C为圆，M为圆弧的三等分点，试求点P的坐标；
（2）设N是以BP为直径的圆与线段BM的交点，若O、N、P三点共线，求a的值．

Answer

（1）若曲线C为圆，根据M为圆弧的三等分点，可求出M点坐标，则直线AM方程就可求出，在与x=1联立，就可求出P点坐标．
（2）先设出M（x，y），可求出直线AM方程，再于直线x=a联立，即可得P点坐标，进而求出直线OP，BM方程，因为N是以BP为直径的圆与线段BM的交点，且O、N、P三点共线可得OP⊥BM，得到两直线斜率的关系，即可解出a的值．
【解析】
（1）当曲线C为圆时，a=1．
由M为圆弧的三等分点，知∠BOM=60°或120°
当∠BOM=60°时，在△PAB中，∠PAB=60°，AB=2，PB=ABtan30°=
∴P（1，）
同理，当∠BOM=120°时，P（1，）
（2）∵A（-a，0），B（a，0），设M（x，y）
则lAM：y=（x+a），∴P（a，）
lOP：y=x，lBM=（x-a）
∵O、N、P三点共线且N是以BP为直径的圆与线段BM的交点．∴OP⊥BM
∴kOP•kBM=-1
即=-1，得，2y2=a2-x2，即①
又∵点M在曲线C上，∴②
由①②解得a=