Question

函数f（x）=（1+cosx）⁸+（1-cosx）⁸（x∈R）的最大值等于    ．

Answer

根据二项式定理，化简得出f（x）=2（C8+C82cos2x+C84cos4x+C86cos6x+c88cos8x），令cos2x=t 降次后，转化为关于t的四次函数，结合单调性求出最值．
【解析】
根据二项式定理，（1+cosx）8与（1-cosx）8展开式中，奇数项相等，偶数项互为相反数，
∴f（x）=2（C8+C82cos2x+C84cos4x+C86cos6x+c88cos8x），
令cos2x=t，则y=g（t）=2（C8+C82t+C84t2+C86t3+c88t4），
易知g（t）在t∈[0，1]上单调递增，
所以当t=1时，y取得最大值，y=2（C8+C82+C84+C86+c88）=2（1+28+70+28+1）=256．
故答案为：256．