Question

已知F₁，F₂分别是双曲线的左、右焦点，以F₁F₂为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，则当△PF₁F₂的面积等于a²时，双曲线的离心率为    ．

Answer

先设F1F2=2c，由题意知△F1F2P是直角三角形，进而在RT△PF1F2中结合双曲线的定义和△PF1F2的面积，进而根据双曲线的简单性质求得a，c之间的关系，则双曲线的离心率可得．
【解析】
设F1F2=2c，由题意知△F1F2P是直角三角形，
∴F1P2+F2P2=F1F22，
又根据曲线的定义得：
F1P-F2P=2a，
平方得：F1P2+F2P2-2F1P×F2P=4a2，
 从而得出F1F22-2F1P×F2P=4a2，
∴F1P×F2P=2（c2-a2），
又△PF1F2的面积等于a2，
即 F1P×F2P=a2，
c2-a2=a2，
e=，
∴双曲线的离心率．
故答案为：．