Question

△ABC的三边a、b、c和面积S满足：S=a²-（b-c）²，且△ABC的外接圆的周长为17π，则面积S的最大值等于    ．

Answer

把已知的等式左边的S利用三角形的面积公式变形，右边利用完全平方公式化简，同时利用余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，整理后代入到化简后的等式中，根据bc不为0，两边同时除以bc后变形，并利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，求出tan的值，进而利用万能公式求出sinA的值，由三角形的外接圆周长求出外接圆直径，利用正弦定理求出a的值，根据基本不等式得出bc取得最大值时b=c，代入S=a2-（b-c）2，得到S=a2，把a的值代入求出的值即为三角形面积的最大值．
【解析】
∵S=a2-（b-c）2，S=bcsinA，
且根据余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA，即b2+c2-a2=2bccosA，
∴，
∴sinA=2-2cosA，
即====tan，
∴sinA==，
又△ABC的外接圆的周长为17π，即外接圆直径为17，
根据正弦定理=2R，可得a=2RsinA=17×=8，
∵bc≤，当且仅当b=c时取等号，即bc达到最大值，
则此时面积S的最大值为a2-（b-c）2=a2=64．
故答案为：64