Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，E为AB的中点，BA₁⊥AC₁．
（I）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（II）求二面角B-A₁E-C余弦值的大小．

Answer

（I）BC⊥AC，根据A1D⊥底ABC，得到A1D⊥BC，A1D∩AC=D，所以BC⊥面A1AC，从而BC⊥AC1，又因BA1⊥AC1，BA1∩BC=B，根据线面垂直的判定定理可知AC1⊥底A1BC；
（II）由（I）知AC1⊥A1C，ACC1A1为菱形，从而可得△A1AE≌△A1CE．作AF⊥A1E于F，连CF，则CF⊥A1E，故∠AFC为二面角A-A1E-C的平面角，从而可求二面角B-A1E-C余弦值的大小．
证明：（I）∠BCA=90°得BC⊥AC，
因为A1D⊥底ABC，所以A1D⊥BC，
因为A1D∩AC=D，所以BC⊥面A1AC，
所以BC⊥AC1，
因为BA1⊥AC1，BA1∩BC=B，
所以AC1⊥底A1BC
（II）由（I）知AC1⊥A1C，ACC1A1为菱形，
∴∠A1AC=60°AA1=AC=A1C=2，
又CE=EA，故△A1AE≌△A1CE．
作AF⊥A1E于F，连CF，则CF⊥A1E，
故∠AFC为二面角A-A1E-C的平面角，
∵
∴．
故二面角B-A1E-C余弦值的大小．