Question

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆x²+3y²=1上的两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）设，，（θ∈R）．求证：点M在椭圆上；
（Ⅱ）若，求的最小值．

Answer

（Ⅰ）设M（x，y），根据条件，可求得x2+3y2=1，从而可证得结论；
（Ⅱ）设|OA|=p，|OB|=q，∠xOA=α，可求得A，B两点的坐标，代入x2+3y2=1，可整理得，应用基本不等式可求得，从而，问题解决．
证明：（Ⅰ）∵，
∴x1x2+3y1y2=0，
又，
设M（x，y），则（x，y）=（x1cosθ，y1cosθ）+（x2sinθ，y2sinθ）=（x1cosθ+x2sinθ，y1cosθ+y2sinθ），
则x2+3y2=（x1cosθ+x2sinθ）2+3（y1cosθ+y2sinθ）2=（x12+3y12）cos2θ+（x22+3y22）sin2θ+2sinθcosθ（x1x2+3y1y2）
∵A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆x2+3y2=1上的两点，
∴x12+3y12=1，x22+3y22=1，又x1x2+3y1y2=0，
∴（x12+3y12）cos2θ+（x22+3y22）sin2θ+2sinθcosθ（x1x2+3y1y2）=cos2θ+sin2θ=1．故点M在椭圆上．
（Ⅱ）设|OA|=p，|OB|=q，∠xOA=α，
则
则
从而，
故．
∴．
的最小值为．