Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=2，AA₁=4，M、N分别为CC₁、A₁C₂的中点．
（I）求证：AM⊥平面B₁MN；
（II）求二面角A₁-B₁M-A的大小．

Answer

（I）分别以BA、BB1、BC为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系B-xyz，分别求出向量，的坐标进而根据向量数量积为0，则两向量垂直，得到AM⊥B1N，AM⊥B1M，结合线面垂直的判定定理得到AM⊥平面B1MN；
（II）由（I）中的结论可得AM⊥平面B1MN，进而AM⊥B1M，根据直三棱柱的几何特征，我们还可得A1B1⊥B1M，根据二面角的定义，我们易得二面角A1-B1M-A的平面角等于异面直线AM与A1B1的夹角，分别求出异面直线AM与A1B1的方向向量，代入向量夹角公式即可得到答案．
证明：（I）分别以BA、BB1、BC为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系B-xyz，则A（2，0，0），M（0，2，2），B1（0，4，0），N（1，4，1），
∴，
∴，
∴AM⊥B1N，AM⊥B1M，
又B1N∩B1M=B1，
∴AM⊥平面B1MN …（5分）
【解析】
（II）由（I）知，
AM⊥平面B1MN，
∵B1M⊂平面B1MN，
∴AM⊥B1M，
∵A1B⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B=B1，
∴A1B1⊥平面B1BCC1，
∵B1M⊂平面B1BCC1，∴A1B1⊥B1M，…（9分）
∵，
∴．
故二面角A1-B1M-A的大小为．…（12分）