Question

在数列，求证：
（I）a_n＞1，n∈N^*；
（II）当a₁≤．

Answer

（I）用数学归纳法证明，分为两大步：（1）当n=1时，不等式成立；（2）假设当n=k时不等式成立，即ak＞1．证明当n=k+1时不等式仍成立．即可得出结论：
（II）由（I）知，Sn=a1+a2+…+an＞n；对于n≥2，利用作差法证得：an＜1+（-1），对于n∈N*，利用等比数列的求和公式结合放缩法即可证得n∈N*，有n＜Sn＜n+1．
证明：（I）用数学归纳法证明，
（1）当n=1时，不等式成立；
（2）假设当n=k时不等式成立，即ak＞1．
．
得ak+1＞1，即当n=k+1时不等式仍成立．
根据（1）和（2），对任何n∈N*都有an＞1．…（4分）
（II）由（I）知，Sn=a1+a2+…+an＞n；…（5分）
对于n≥2，an-1=-1），…（7分）
＞1，∴
即an＜1+（-1），…（10分）
对于n∈N*，

=．
综上，n∈N*，有n＜Sn＜n+1．…（12分）