Question

函数f（x）=2sin（wx+φ）-1（w＞0，|φ|＜π）对于任意x∈R满足f（x）=f（-x）和f（x）=f（2-x），在区间[0，1]上，函数f（x）单调递增，则有（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

根据任意x∈R满足f（x）=f（-x），得到函数是一个偶函数，函数需要向左或右平移个单位，变化成余弦函数的形式，根据f（x）=f（2-x），得到函数的图象关于x=1对称，有在区间[0，1]上，函数f（x）单调递增，得到在x=1函数取得最大1，确定函数所过的一个点的坐标，代入求解．
【解析】
∵对于任意x∈R满足f（x）=f（-x）
∴函数是一个偶函数，函数的图象关于y轴对称
函数需要向左或右平移个单位，变化成余弦函数的形式，
∵f（x）=f（2-x），
∴函数的图象关于x=1对称，
∴函数的周期是2，
∴ω=π
∵在区间[0，1]上，函数f（x）单调递增，
∴在x=1函数取得最大1，
把（1，1）代入得到1=2sin（π+φ）-1．
∴sin（π+φ）=1，
∴π+φ=2kπ+
又|φ|＜π
∴φ=-
故选A