Question

设等比数列{a_n}的首项a₁=256，前n项和为S_n，且S_n，S_n+2，S_n+1成等差数列．
（Ⅰ）求{a_n}的公比q；
（Ⅱ）用Π_n表示{a_n}的前n项之积，即Πn=a₁•a₂…a_n，试比较Π₇、Π₈、Π₉的大小．

Answer

（Ⅰ）解法一：由Sn+1=Sn+an+1，Sn+2=Sn+an+1+an+2，可得2Sn+2=Sn+Sn+1，即可得，从而可求等比数列的公比q
解法二：由已知2Sn+2=Sn+Sn+1，
分类讨论：q=1时及q≠1时，分别利用等比数列的求和公式代入已知可求q
（Ⅱ）由（1）可知，则通过计算可知Π7＜0，，Π8=Π9＞0．从而可比较
【解析】
（Ⅰ）解法一：∵Sn+1=Sn+an+1，Sn+2=Sn+an+1+an+2，
由已知2Sn+2=Sn+Sn+1，…（4分）
得：2（Sn+an+1+an+2）=Sn+（Sn+an+1），∴，∴{an}的公比．…（8分）
解法二：由已知2Sn+2=Sn+Sn+1，…（2分）
当q=1时，Sn+2=（n+2）a1，Sn+1=（n+1）a1，Sn=na1，
则2（n+2）a1=（n+1）a1+na1，⇒a1=0与{an}为等比数列矛盾；  …（4分）
当q≠1时，则，
化简得：2qn+2=qn+qn+1，∵qn≠0，∴2q2=1+q，∴…（8分）
（Ⅱ）∵，则有：a2=-27，a3=26，a4=-25，a5=24，a6=-23，a7=22，a8=-2，a9=1，…∴Π7＜0…（11分）Π8=Π9＞0…（13分）∴Π7＜Π8=Π9…（14分）