Question

如图，已知点C（-2，0），直线l：x=-4与x轴交于点A，动点P到直线l的距离为d，且．
（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设过点A的直线l交轨迹于M、N两点，且CN⊥CN，求直线l的方程．

Answer

（Ⅰ）设P（x，y），由，知，由此能求出点p的轨迹方程．
（Ⅱ）A（-4，0），设l：y=k（x+4），联立，由△=（16k2）2-4（1+2k2）（32k2-8）＞0，得：．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，由此能求出直线l的方程．
【解析】
（Ⅰ）设P（x，y），
∵，
∴…（3分）
平方整理得：x2+2y2=8，
∴点p的轨迹方程为．…（5分）
（Ⅱ）A（-4，0），设l：y=k（x+4）
联立
即（1+2k2）x2+16k2x+32k2-8=0…（7分）
△=（16k2）2-4（1+2k2）（32k2-8）＞0，
∴8k4-（1+2k2）（4k2-1）＞0，
化简得：…①
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则，…（9分）
∵，又CM⊥CN，
∴，
∴（x1+2）（x2+2）+y1y2=0，
即（x1+2）（x2+2）+k2（x1+4）（x2+4）=0，
∴（1+k2）x1x2+2（1+2k2）（x2+x2）+4（1+4k2）=0…（11分）
∴
化简得：符合①…（13分）
∴直线l的方程是：或…（14分）