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已知函数f(x)=ex+4x-3. (Ⅰ)求证函数f(x)在区间[0,1]上存在...

已知函数f(x)=ex+4x-3.
(Ⅰ)求证函数f(x)在区间[0,1]上存在唯一的零点,并用二分法求函数f(x)零点的近似值(误差不超过0.2);(参考数据e≈2.7,manfen5.com 满分网≈1.6,e0.25≈1.3,e0.375≈1.45);
(Ⅱ)当x≥1时,若关于x的不等式f(x)≥ax恒成立,试求实数a的取值范围.
对第(Ⅰ)问要先根据题意判断函数在相应区间上的单调性,再有端点的函数值对比即可获得解的唯一性,然后再根据二分法的步骤逐次进行范围缩小,再结合所给信息即可获得问题的解答; 对第(Ⅱ)首先将恒成立问题游离参数,转化为求函数的最小值问题即可. 【解析】 (Ⅰ)由f(x)=ex+4x-3,得f′(x)=ex+4>0, f(x)在[0,1]上单调递增, ∵f(0)=-2,f(1)=e+1>0,f(0)•f(1)<00, ∴f(x)在[0,1]上存在唯一零点, 取区间[0,1]作为起始区间,用二分法逐次计算如下 由上表可知区间[0.25,0.5]的长度为0.25,所以该区间的中点x2=0.375,到区间端点距离小于0.2,因此可作为误差不超过0.2的一个零点的近似值. ∴函数f(x)零点的近似值x≈0.375 (Ⅱ)当x≥1时,由f(x)≥ax,即, 令则 ∵x≥1, ∴g′(x)>0, ∴g(x)在[1,+∞)上单调递增, ∴g(x)min=g(1)=e+1, ∴a的取值范围是a≤e+1.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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