Question

正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，，设E，F分别是BD，C₁C的中点．
（1）求证：A₁C⊥平面BEF；
（2）求二面角A₁-BF-E的大小．

Answer

（1）建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，分别求出，，，根据•=0，•=0可得A1C⊥BE，A1C⊥BF，结合线面垂直的判定定理可得A1C⊥平面BEF；
（2）由（1）可得=（2，2，-2）是平面BEF的一个法向量，出平面A1BF的一个法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角A1-BF-E的大小．
【解析】
建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，，设E，F分别是BD，C1C的中点
∴A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），E（1，1，0），F（2，2，），
∴=（2，2，-2），=（-1，1，0），=（0，2，），
∵•=0，•=0
∴A1C⊥BE，A1C⊥BF，
又∵BE∩BF=B
∴A1C⊥平面BEF；
（2）由（1）可得=（2，2，-2）是平面BEF的一个法向量
且=（2，0，-2），
设向量=（a，b，c）是平面A1BF的一个法向量
则
即
令c=2，则=（2，-，2）是平面A1BF的一个法向量
令锐二面角A1-BF-E的平面角为θ
则cosθ===
故二面角A1-BF-E的大小为arccos