Question

函数f（x）=ax+ln（2-x）（x＜2），设曲线y=f（x）在点（1，f（1））的切线为l．
（1）若直线l与圆（x+1）²+y²=1相切，求a的值；
（2）求函数y=f（x）的单调区间．

Answer

（1）先求切线l：y-a=（2a-2）（x-1）．即l：（2a-2）x-y+（2-a）=0，再根据直线l与圆（x+1）2+y2=1相切有．从而可求a的值；
（2）分类讨论，令导数小于0，得函数y=f（x）的单调减区间，令导数大于0，得函数y=f（x）的单调增区间．
【解析】
（1）f（x）=ax2+2㏑（2-x）．f（1）=a．故点（1，f（1））=（1，a）．
求导得：f′（x）=2ax，故f′（1）=2a-2．
故切线l：y-a=（2a-2）（x-1）．即l：（2a-2）x-y+（2-a）=0．
又由题设知，直线l到（-1，0）的距离为1
即有．解得：a=1或；
（2）f′（x）=2ax=，
当a＜0 时，由导数小于0得，因为分子二次项的系数为负，
所以可得函数的单调增区间为；
由导数大于0得减区间
当0≤a≤1时，当x＜2时，f′（x）＜0恒成立，所以函数的单调减区间为 （-∞，2）
当＞a＞1时，由导数小于0得，函数的单调减区间为；
由导数大于0得增区间
当a时，由导数小于0得，函数的单调减区间为；
由导数大于0得增区间